Sejam X c ℝ um conjunto de números reais, f :X -> ℝ uma função real cujo domínio é X e a E X ' um ponto de acumulação do conjunto X. Negar que o número real L é limite de f ( x ) q

Sejam X c ℝ um conjunto de números reais, $f$ :X -> ℝ uma função real cujo domínio é X e a E X ' um ponto de acumulação do conjunto X. Negar que o número real L é limite de f ( x ) quando x tende para a, equivale a dizer que:

I - ∀_∈ > 0 ∃δ > 0; x ∈ X, 0 < \x - a| < δ =$\to$ |f(x) - L\ < ∈.

II - Existe um número e > 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ > 0, pode-se sempre achar x_δ ∈ x tal que 0 < |x_δ -a| < δ e |f(x_δ) -L\ ≥ ∈.

III - ∀_∈ ≥ 0 ∃δ ≥ 0; x ∈ X, 0 ≤ |x - a| ≤ δ => |f(x) -L ≤ ∈.

IV- Existe um número e ≥ 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ ≥ 0, pode-se sempre achar x_δ E X tal que 0 ≤ |x_δ -a| ≤ _δ e |f(x_δ) -L| ≤ ∈.

Pode-se concluir que: