Alice parte da origem O e segue em linha reta por uma distância de a dada em quilômetros (km). Ao chegar ao final desse percurso, ela vira em um ângulo de 4 5 º no sentido horário

Alice parte da origem $O$ e segue em linha reta por uma distância de $a$ dada em quilômetros (km). Ao chegar ao final desse percurso, ela vira em um ângulo de $45º$ no sentido horário e anda por mais $ra$ km. Sempre que ela chega ao final de um percurso, ela novamente vira em $45º$ no sentido horário, e o novo percurso terá comprimento $r$ vezes o último percurso.

A linha poligonal simples na figura abaixo ilustra o passeio de Alice.

Se Alice mantiver infinitamente esse comportamento, teremos que os comprimentos dos percursos percorridos formam uma progressão geométrica infinita de razão $r$ e termo inicial $a$ . Considerando o problema como ilustrado na figura acima, chamaremos a medida $\Delta y$ de deslocamento vertical.

Sob as condições descritas acima e considerando que $a=1$ km e r=21​, qual é o valor do deslocamento vertical?