No trecho "Quando acordou, minha filha me contou que tinha visto a lua mais bonita do mundo", o verbo "contar" é empregado com um uso típico da norma-padrão. Considerando a estrutu

transitivo direto e indireto, exigindo dois complementos: um objeto indireto ("me") e um objeto direto ("que tinha visto a lua mais bonita do mundo").

transitivo direto, e o pronome "me" atua como objeto direto, substituindo a oração subordinada.

transitivo indireto e exige apenas um complemento com preposição "a", como em "contou a mim".

intransitivo, pois o sentido de relatar já está completo com o uso do pronome "me".