Não treme não, "meu bichinho", vai passar. Sintaticamente, é correto afirmar que a expressão destacada, nesta frase, trata-se de:

objeto direto, pois completa o sentido do verbo "treme", indicando quem deve ser acalmado.

sujeito, pois designa o ser a quem se atribui a ação de não tremer.

adjunto adnominal, pois especifica o substantivo subentendido "criança" no contexto afetivo.

vocativo, pois exerce função de chamamento direto ao interlocutor, sem integrar a estrutura sintática do predicado.