Questão em destaque · Q4415327

Considerando as definições, propriedades etc. das funções trigonométricas, dados os argumentos, I. Para todo real x, ( s e n ( x ) + cos ( x ) ) 2 = s e n 2 ( x ) + 2 s e n ( x ) c

COPEVE/UFAL - FUNDEPES · IFAL · 2026 · Professor - Área: Matemática

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P4415327

ID: 4415327

MatemáticaAssunto: Relação Fundamental da Trigonometria

Banca: COPEVE/UFAL - FUNDEPES

Ano: 2026

Nível: Superior

Considerando as definições, propriedades etc. das funções trigonométricas, dados os argumentos,

I. Para todo real x, $(s e n (x) + cos (x))^{2} = s e n^{2} (x) + 2 s e n (x) cos (x) + cos^{2} (x) e,$ então $(s e n (x) + cos (x))^{2} = 1 + s e n (2 x),$ já que $s e n^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1 e 2 s e n (x) cos (x) = s e n (2 x) .$ Daí, (sen(x) + cos(x))² $\geq$ 1.

II. Para todo real x tal que $s e n (x) cos (x) \neq = 0,$ de $s e n^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1,$ segue que $\frac{1}{c o s s e c ^{2} ( x )} + \frac{1}{s e c ^{2} ( x )} = 1$ que dá $sec^{2} (x) + c o s s e c^{2} (x) = sec^{2} (x) c o s s e c^{2} (x) .$

III. Para todo real x tal que $s e n (x) \neq = 0, (c o t g^{2} (x) + 1) (1 - cos^{2} (x)) = (\frac{c o s ^{2} ( x )}{s e n ^{2} ( x )} + 1) (1 - cos^{2} (x)),$ que dá $(cot g^{2} (x) + 1) (1 - cos^{2} (x)) = \frac{c o s ^{2} ( x ) + s e n ^{2} ( x )}{s e n ^{2} ( x )} (1 - cos^{2} (x)) .$ Daí, $(cot g^{2} (x) + 1) (1 - cos^{2} (x)) = \frac{1}{s e n ^{2} ( x )} (1 - cos^{2} (x)) = \frac{1}{s e n ^{2} ( x )} - \frac{c o s ^{2} ( x )}{s e n ^{2} ( x )} = \frac{1 - c o s ^{2} ( x )}{s e n ^{2} ( x )} = \frac{s e n ^{2} ( x )}{s e n ^{2} ( x )}$ e, portanto, $(c o t g^{2} (x) + 1) (1 - cos^{2} (x)) = 1 .$