Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta. Mostraremos que, se existir uma função 𝒇 ∈ 𝑪 𝟐 tal que satisfaz a equação de Laplace 𝜟𝒇 = 𝟎 no disco unitário 𝑫 = {(𝒙,

Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função 𝒇 ∈ 𝑪^𝟐 tal que satisfaz a equação de Laplace 𝜟𝒇 = 𝟎 no disco unitário 𝑫 = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℝ^𝟐 : 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 ≤ 𝟏} com a condição de bordo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝝋(𝒙, 𝒚) para pontos (𝒙, 𝒚) ∈ 𝝏𝑫, então tal função é única. De fato, suponha que 𝒇 e 𝒈 são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita. Mostraremos que devemos ter 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒈(𝒙, 𝒚), para todo (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑫. Note que a função 𝒉(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒙, 𝒚)− 𝒈(𝒙, 𝒚) é de classe 𝑪^𝟐 e que 𝜟𝒉 = ________________, para todo ponto em 𝑫. Também temos que 𝒉(𝒙, 𝒚) = 𝟎, para todo (𝒙, 𝒚) ∈ 𝝏𝑫. Aplicando a identidade de Green, obtemos ∫D​∣∇h∣2dA=−∫D​hΔhdA+∮∂D​h∇h⋅ds, em que∇h denota o gradiente de 𝒉. Como 𝜟𝒉 = 𝟎 em 𝑫 e 𝒉 = 𝟎 em 𝝏𝑫, obtemos ∫D​∣∇h∣2dA=0. Sendo ∣∇h∣2 uma função não negativa, concluímos que ∇h=0. Como 𝑫 é um conjunto __________________, concluímos que 𝒉 deve ser __________________ em 𝑫. Uma vez que 𝒉 = 𝟎 em 𝝏𝑫, segue que 𝒉 é identicamente nula em 𝑫 e que, portanto, 𝒇 = 𝒈 em 𝑫, como queríamos demonstrar.